矩阵遵循代数里通常的法则，除了乘法交换律（commutativity of multiplication）。也就是说，对于两个矩阵A和B，一般来说AB=BA是不对的。然而，矩阵乘法是可结合的（associative），这意味着书写任意长度的矩阵连乘时，不需要括号也不会引起歧义。
平面上的线性变换（linear transformation）通常是指绕着原点的旋转、相对于通过原点的直线的反射、相对原点的扩大或收缩，以及所谓的剪切（shear），或者说搓（slanting）。剪切是指让点平行于一根固定的轴移动，移动的长度与每个点到固定轴的距离成正比，就类似于一本书的各页可以依次滑动那样。对于任意一连串这样的变换，其效果都可以通过将所有对应的矩阵乘在一起来体现，这会给我们一个单独的矩阵，它包含了所有这些变换依次执行之后的最终效果。就像我们已经看到的那样，得到矩阵的各行正是两个点(1，0)和(0，1)经过变换后得到的像。这两个点称为基向量（basis vector）。
现在，对于代表绕原点逆时针旋转直角的矩阵J，我们自然地认为它应该模仿乘以虚单位i时我们观察到的数的行为。因为点(1，0)被转到了点(0，1)，类似地点(0，1)移动到了(-1，0)，所以这两个新向量组成了矩阵J的行。将J平方可得一个矩阵，它的几何效果是把点绕原点转过2×90°=180°。下面我们就通过乘法来计算这个矩阵。例如，要找出J2右下角的元素，我们取第二行和第二列的点乘，即 (-1)×1＋0×0=-1＋0=-1。完整的计算如下：